Aplikasi Turunan
Menentukan nilai maksimum, minimum, dan optimasi
💡 Konsep Inti
Aplikasi turunan yang paling sering dipakai adalah mencari nilai maksimum atau minimum. Dasarnya sederhana: pada titik puncak sebuah kurva, garis singgungnya mendatar sehingga turunannya bernilai nol. Karena itu langkah pertama selalu menyelesaikan f′(x) = 0 untuk menemukan titik kritis. Setelah itu, jenis titiknya ditentukan lewat turunan kedua: bila f″(x) positif berarti minimum, dan bila negatif berarti maksimum.
🌍 Penggunaan Konsep Ini
Persoalan optimum ada di mana-mana. Contohnya ukuran kemasan yang memakai bahan paling sedikit, harga jual yang memberi laba tertinggi, atau jumlah produksi dengan biaya paling rendah.
⚡ Rumus dan Prinsip
Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.
🧩 Contoh Masalah
Tentukan nilai minimum dari f(x) = x² − 6x + 11.
Fungsi kuadrat f(x) = x² − 6x + 11
Nilai minimum dan letaknya
✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah
- Cari turunan pertamanya: f′(x) = 2x − 6
- Selesaikan f′(x) = 0: 2x − 6 = 0 sehingga x = 3
- Periksa turunan keduanya: f″(x) = 2 yang bernilai positif, sehingga titik itu minimum
- Hitung nilainya: f(3) = 9 − 18 + 11 = 2
🔍 Strategi Berpikir
Turunan kedua menyatakan bagaimana kemiringan berubah. Bila f″ positif, kemiringan terus bertambah sehingga kurva melengkung ke atas dan titik kritisnya menjadi lembah. Bila negatif, kurva melengkung ke bawah dan titik kritisnya menjadi puncak. Uji ini jauh lebih cepat daripada memeriksa nilai di kiri kanan titik kritis.
🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan
Seutas kawat 40 m dibentuk menjadi persegi panjang. Berapa luas terbesarnya? Keliling 40 berarti p + l = 20, sehingga p = 20 − l dan luasnya L = l(20 − l) = 20l − l². Turunannya L′ = 20 − 2l = 0 memberi l = 10, lalu p = 10. Luas maksimum 10 × 10 = 100 m². Bentuk terbaiknya ternyata persegi.
Pastikan titik stasioner itu benar-benar maksimum dengan mencoba nilai di kiri dan kanan. Untuk l = 9, p = 11 dan luasnya 99. Untuk l = 11, p = 9 dan luasnya juga 99. Keduanya lebih kecil dari 100, jadi 100 memang puncak. Cara ini juga sejalan dengan turunan kedua L″ = −2 yang negatif. Soal cerita seperti ini biasanya meminta satu variabel dulu diganti dengan variabel lain agar hanya tersisa satu fungsi yang diturunkan.
⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul
- Berhenti setelah menemukan x = 3 tanpa menghitung nilai fungsinya, padahal yang ditanyakan nilai minimumnya.
- Tidak memeriksa jenis titik kritis, sehingga maksimum dan minimum tertukar.
- Melupakan nilai di ujung selang pada soal yang domainnya dibatasi.
🎯 Latihan Mandiri
Tentukan nilai maksimum dari f(x) = −x² + 4x + 1.
Lihat pembahasan setelah mencoba
✅ Refleksi
Sehelai kawat sepanjang 40 cm dibentuk menjadi persegi panjang. Susun fungsi luasnya dalam satu variabel, lalu pakai turunan untuk membuktikan bahwa luas terbesar terjadi saat bentuknya persegi.