Turunan Fungsi
Menghitung turunan fungsi dan memahami maknanya
💡 Konsep Inti
Turunan mengukur laju perubahan sebuah fungsi, atau secara gambar adalah kemiringan garis singgung pada suatu titik. Definisinya berasal dari limit kemiringan tali busur ketika kedua titiknya saling mendekat. Dari definisi itu diturunkan aturan praktis yang membuat hitungan jauh lebih cepat. Turunan xⁿ adalah n·xⁿ⁻¹. Turunan konstanta adalah nol. Turunan penjumlahan adalah penjumlahan turunannya.
🌍 Penggunaan Konsep Ini
Turunan menjawab pertanyaan 'seberapa cepat berubah'. Kecepatan adalah turunan posisi terhadap waktu, percepatan adalah turunan kecepatan, dan laju pertumbuhan biaya produksi adalah turunan fungsi biaya. Hampir semua analisis perubahan bertumpu pada konsep ini.
⚡ Rumus dan Prinsip
Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.
🧩 Contoh Masalah
Tentukan turunan dari f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7x − 2, lalu hitung f′(2).
Fungsi polinom berderajat empat seperti tertulis pada soal
Bentuk turunannya dan nilainya saat x = 2
✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah
- Turunkan tiap suku memakai aturan pangkat: 3x⁴ menjadi 12x³, dan −5x² menjadi −10x
- Suku 7x menjadi 7, sedangkan konstanta −2 menjadi 0
- Sehingga f′(x) = 12x³ − 10x + 7
- Substitusikan x = 2: f′(2) = 12(8) − 10(2) + 7 = 96 − 20 + 7 = 83
🔍 Strategi Berpikir
Turunan konstanta bernilai nol karena konstanta tidak pernah berubah, sehingga laju perubahannya memang nol. Secara gambar, grafik y = −2 adalah garis mendatar yang kemiringannya nol di mana pun. Alasan ini jauh lebih mudah diingat daripada menghafal aturannya sebagai aturan tersendiri.
🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan
Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x³ − 3x di titik berabsis 2. Titiknya (2, f(2)) = (2, 8 − 6) = (2, 2). Turunannya f′(x) = 3x² − 3, sehingga gradien di x = 2 adalah 12 − 3 = 9. Persamaan garisnya y − 2 = 9(x − 2), yaitu y = 9x − 16.
Gradien dapat dicek dengan mendekati dari titik tetangga. Pada x = 2,01 nilai fungsinya 8,120601 − 6,03 = 2,090601. Selisih terhadap 2 adalah 0,090601, dibagi 0,01 memberi 9,06, sangat dekat dengan 9. Garis yang diperoleh juga harus melalui titik singgungnya: 9 × 2 − 16 = 2, dan itu benar. Dua pemeriksaan ini, yaitu gradien dan titik, cukup untuk memastikan persamaan garisnya.
⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul
- Menurunkan konstanta menjadi konstanta itu sendiri, bukan nol.
- Lupa mengurangi pangkat setelah mengalikannya ke depan.
- Menurunkan hasil kali dua fungsi dengan mengalikan turunannya masing-masing, padahal harus memakai aturan hasil kali.
🎯 Latihan Mandiri
Tentukan turunan dari f(x) = x³ − 6x² + 9x + 4.
Lihat pembahasan setelah mencoba
✅ Refleksi
Sebuah benda bergerak dengan posisi s(t) = t³ − 3t² + 2t. Tentukan kecepatannya pada t = 2 dengan menurunkan fungsi posisi, lalu jelaskan arti tanda hasilnya.