Program Linear
Menentukan solusi optimum menggunakan grafik
💡 Konsep Inti
Program linear mencari nilai terbesar atau terkecil dari sebuah fungsi tujuan yang dibatasi oleh beberapa kendala berbentuk pertidaksamaan linear. Langkahnya berurutan. Ubah persoalan menjadi model matematika, gambar daerah yang memenuhi semua kendala, tentukan titik pojok daerah itu, lalu uji fungsi tujuan di tiap titik pojok. Nilai optimum selalu berada di salah satu titik pojok, dan itulah yang membuat metode ini bisa dikerjakan tanpa mencoba tak hingga banyak kemungkinan.
🌍 Penggunaan Konsep Ini
Program linear dipakai untuk menyusun jadwal produksi dengan bahan baku terbatas, menentukan pakan ternak termurah yang tetap memenuhi gizi minimum, dan mengatur armada pengiriman.
⚡ Rumus dan Prinsip
Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.
🧩 Contoh Masalah
Tentukan nilai maksimum Z = 3x + 2y pada daerah dengan titik pojok (0, 0), (4, 0), (2, 3), dan (0, 4).
Fungsi tujuan Z = 3x + 2y dengan empat titik pojok
Nilai maksimum Z dan letaknya
✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah
- Uji titik (0, 0): Z = 0 + 0 = 0
- Uji titik (4, 0): Z = 12 + 0 = 12
- Uji titik (2, 3): Z = 6 + 6 = 12
- Uji titik (0, 4): Z = 0 + 8 = 8, sehingga nilai terbesarnya 12
🔍 Strategi Berpikir
Nilai optimum tercapai di dua titik sekaligus, dan itu bukan kekeliruan. Keadaan ini terjadi bila garis fungsi tujuan kebetulan sejajar dengan salah satu sisi daerah penyelesaian. Akibatnya, seluruh titik di sepanjang ruas antara kedua pojok itu juga memberi nilai 12, sehingga persoalan punya banyak penyelesaian optimum.
🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan
Maksimalkan Z = 5x + 4y dengan syarat x + y ≤ 7, x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, dan y ≥ 0. Titik pojoknya adalah (0, 0), (7, 0), (0, 5), dan perpotongan dua garis. Dari x + y = 7 dan x + 2y = 10 diperoleh y = 3 dan x = 4, jadi titiknya (4, 3). Uji: Z(0, 0) = 0, Z(7, 0) = 35, Z(4, 3) = 32, dan Z(0, 5) = 20.
Nilai maksimumnya 35 di (7, 0), bukan di titik perpotongan. Banyak siswa mengira jawabannya selalu ada di perpotongan dua garis, padahal setiap titik pojok harus diuji. Pastikan juga titik pojok itu memenuhi semua syarat: (7, 0) memberi 7 ≤ 7 dan 7 ≤ 10, dua-duanya terpenuhi. Titik (4, 3) sah, tetapi nilainya lebih kecil. Karena Z memberi bobot lebih besar pada x, wajar bila titik dengan x terbesar menang.
⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul
- Menguji titik yang berada di dalam daerah, bukan di pojoknya.
- Menggambar daerah penyelesaian dengan arah arsiran yang terbalik.
- Menganggap penyelesaian optimum selalu tunggal.
🎯 Latihan Mandiri
Tentukan nilai minimum Z = 2x + y pada titik pojok (1, 1), (3, 0), dan (2, 4).
Lihat pembahasan setelah mencoba
✅ Refleksi
Sebuah pengrajin membuat dua jenis tas dengan bahan dan waktu terbatas. Susun sendiri kendala dan fungsi tujuannya, lalu jelaskan mengapa jawabannya pasti berada di titik pojok.