Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Menentukan komposisi fungsi dan invers fungsi

💡 Konsep Inti

Fungsi komposisi menggabungkan dua fungsi sehingga keluaran fungsi pertama menjadi masukan fungsi kedua. Notasi (f ∘ g)(x) berarti f(g(x)), yaitu g dikerjakan lebih dahulu. Urutan ini sangat menentukan, sebab pada umumnya f ∘ g tidak sama dengan g ∘ f. Fungsi invers adalah kebalikan sebuah fungsi, yang membatalkan kembali apa yang dilakukan fungsi aslinya. Tidak semua fungsi punya invers; syaratnya fungsi itu harus satu-satu, artinya tidak ada dua masukan berbeda yang menghasilkan keluaran sama.

🌍 Penggunaan Konsep Ini

Komposisi fungsi menggambarkan proses bertahap. Harga barang dikenai diskon lebih dulu lalu ditambah pajak adalah komposisi dua fungsi, dan hasilnya berbeda kalau urutannya dibalik. Invers dipakai untuk membalik proses, misalnya mengubah suhu Fahrenheit kembali ke Celsius.

⚡ Rumus dan Prinsip

(f ∘ g)(x) = f(g(x)), kerjakan g dahulu

f⁻¹(f(x)) = x

Mencari invers: tulis y = f(x), tukar x dan y, lalu selesaikan

f ∘ g umumnya ≠ g ∘ f

Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.

🧩 Contoh Masalah

Diketahui f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x − 1. Tentukan (f ∘ g)(x), (g ∘ f)(x), dan f⁻¹(x).

DIKETAHUI
f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x − 1

DITANYAKAN
Dua komposisi dan invers dari f

✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x − 1) = 2(x − 1) + 3 = 2x − 2 + 3 = 2x + 1
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3) − 1 = 2x + 2
Untuk invers, tulis y = 2x + 3 lalu tukar peran x dan y menjadi x = 2y + 3
Selesaikan untuk y: 2y = x − 3, sehingga f⁻¹(x) = (x − 3)/2

Kesimpulan: (f ∘ g)(x) = 2x + 1, (g ∘ f)(x) = 2x + 2, dan f⁻¹(x) = (x − 3)/2.

🔍 Strategi Berpikir

Perhatikan bahwa kedua komposisi menghasilkan bentuk yang berbeda, dan itu membuktikan bahwa urutan memang penting. Untuk memeriksa invers, uji dengan satu nilai: f(4) = 11, lalu f⁻¹(11) = (11 − 3)/2 = 4. Kembali ke nilai semula berarti inversnya benar.

🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan

Ambil f(x) = 3x − 2 dan g(x) = x². Untuk (f ∘ g)(x), masukkan g(x) ke dalam f: 3(x²) − 2 = 3x² − 2. Untuk (g ∘ f)(x), masukkan f(x) ke dalam g: (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4. Dua hasil itu jelas berbeda, jadi urutan komposisi menentukan hasilnya. Invers f diperoleh dari y = 3x − 2, yaitu x = (y + 2)/3, sehingga f⁻¹(x) = (x + 2)/3.

Cara memeriksa yang cepat adalah mengisi satu angka. Pada x = 2, g(2) = 4 lalu f(4) = 10, dan rumus 3x² − 2 memberi 12 − 2 = 10. Dari sisi lain, f(2) = 4 lalu g(4) = 16, dan rumus 9x² − 12x + 4 memberi 36 − 24 + 4 = 16. Angka konkret seperti ini membongkar kesalahan aljabar tanpa harus mengulang seluruh perhitungan.

⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul

Mengerjakan f lebih dulu pada (f ∘ g), padahal yang dikerjakan lebih dulu adalah g.
Menganggap f⁻¹(x) berarti 1/f(x). Lambang itu menandakan invers, bukan kebalikan pecahan.
Lupa memakai tanda kurung saat menyubstitusi, sehingga tandanya salah.

🎯 Latihan Mandiri

Jika h(x) = 3x − 6, tentukan h⁻¹(x). Periksa jawabanmu dengan satu nilai.

Lihat pembahasan setelah mencoba

Tulis y = 3x − 6, tukar menjadi x = 3y − 6, sehingga 3y = x + 6 dan h⁻¹(x) = (x + 6)/3. Periksa: h(4) = 6, lalu h⁻¹(6) = 123 = 4, kembali ke nilai semula.

✅ Refleksi

Harga barang Rp200.000 dikenai diskon 20% lalu pajak 10%. Bandingkan hasilnya bila urutannya dibalik, yaitu pajak dulu baru diskon. Apakah hasilnya sama, dan apa artinya untuk komposisi fungsi?

📚 Catatan pembelajaran: materi disusun sebagai kerangka umum Matematika SMA dan dapat diselaraskan dengan CP, TP, ATP, asesmen, serta kebijakan Kurikulum Merdeka di sekolah.