Aturan Sinus dan Cosinus

Menyelesaikan masalah segitiga sembarang

💡 Konsep Inti

Perbandingan trigonometri dasar hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Untuk segitiga sembarang, dipakai aturan sinus dan aturan cosinus. Memilih di antara keduanya bergantung pada data yang tersedia. Aturan sinus dipakai bila diketahui sepasang sisi dan sudut di hadapannya, misalnya dua sudut dan satu sisi. Aturan cosinus dipakai bila diketahui dua sisi beserta sudut apitnya, atau ketiga sisinya sekaligus.

🌍 Penggunaan Konsep Ini

Aturan ini dipakai dalam survei tanah, navigasi laut dan udara, serta penentuan posisi sumber gempa. Dalam semua kasus itu, segitiga yang terbentuk hampir tidak pernah siku-siku, sehingga Pythagoras saja tidak cukup.

⚡ Rumus dan Prinsip

Aturan sinus: asin A = bsin B = csin C

Aturan cosinus: c² = a² + b² − 2ab cos C

Luas segitiga: L = ½ ab sin C

Bila C = 90°, aturan cosinus menjadi Pythagoras

Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.

🧩 Contoh Masalah

Dua sisi sebuah segitiga berukuran 5 cm dan 7 cm dengan sudut apit 60°. Tentukan panjang sisi ketiganya dan luas segitiganya.

DIKETAHUI
a = 5 cm, b = 7 cm, dan sudut apit C = 60°

DITANYAKAN
Panjang sisi ketiga dan luas segitiga

✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah

Karena diketahui dua sisi dan sudut apitnya, pakai aturan cosinus: c² = 5² + 7² − 2(5)(7) cos 60°
Nilai cos 60° = ½, sehingga c² = 25 + 49 − 70(½) = 74 − 35 = 39
c = √39 ≈ 6,24 cm
Luas = ½ ab sin C = ½ × 5 × 7 × sin 60° = 17,5 × (√32) ≈ 15,16 cm²

Kesimpulan: Panjang sisi ketiganya √39 atau sekitar 6,24 cm, dengan luas sekitar 15,16 cm².

🔍 Strategi Berpikir

Aturan cosinus sebenarnya perluasan dari Teorema Pythagoras. Bila sudut apitnya 90°, maka cos 90° bernilai nol sehingga suku terakhir hilang dan rumusnya menjadi c² = a² + b². Jadi Pythagoras adalah keadaan khusus dari aturan cosinus.

🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan

Pada segitiga ABC diketahui A = 30°, B = 45°, dan sisi a = 10 cm. Tentukan sisi b. Satu pasangan sudut dan sisi yang berhadapan (A dengan a) sudah lengkap, jadi aturan sinus cocok: b / sin 45° = 10 / sin 30°. Nilai sin 30° = ½ dan sin 45° = ½√2, sehingga b = 10 × (½√2) ÷ ½ = 10√2 cm, sekitar 14,14 cm. Sudut ketiga C = 180° − 30° − 45° = 105°.

Ada pemeriksaan sederhana tanpa hitung ulang. Sisi terpanjang selalu berhadapan dengan sudut terbesar. Sudut B (45°) lebih besar daripada A (30°), jadi b memang harus lebih panjang dari a. Hasil 14,14 cm lebih besar dari 10 cm sehingga masuk akal. Sudut C = 105° terbesar, jadi sisi c nanti akan menjadi yang terpanjang.

⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul

Memakai aturan sinus padahal yang diketahui dua sisi dan sudut apitnya.
Lupa tanda minus pada suku −2ab cos C.
Memakai sudut yang bukan sudut apit kedua sisi yang diketahui.

🎯 Latihan Mandiri

Dua sisi segitiga berukuran 6 dan 8 mengapit sudut 90°. Tentukan sisi ketiganya dengan aturan cosinus.

Lihat pembahasan setelah mencoba

c² = 36 + 64 − 2(6)(8) cos 90°. Karena cos 90° = 0, maka c² = 100 dan c = 10. Hasilnya sama dengan Pythagoras.

✅ Refleksi

Sebuah segitiga memiliki sudut 45° dan 60° dengan sisi di hadapan sudut 45° sepanjang 10 cm. Aturan mana yang kamu pakai untuk mencari sisi lainnya, dan mengapa?

📚 Catatan pembelajaran: materi disusun sebagai kerangka umum Matematika SMA dan dapat diselaraskan dengan CP, TP, ATP, asesmen, serta kebijakan Kurikulum Merdeka di sekolah.