Matematika SMA / Kelas XI / Semester 2
BAB 10 · MATERI 5 DARI 5

Peluang Lanjut

Menggunakan peluang bersyarat dan aturan pencacahan

💡 Konsep Inti

Peluang lanjut memperkenalkan permutasi dan kombinasi sebagai alat menghitung banyaknya kemungkinan. Perbedaan keduanya terletak pada satu pertanyaan: apakah urutan menentukan. Permutasi dipakai bila urutan menentukan, misalnya susunan juara satu, dua, dan tiga. Kombinasi dipakai bila urutan tidak menentukan, misalnya memilih tiga orang untuk sebuah tim tanpa membedakan peran. Menjawab pertanyaan tentang urutan lebih dulu akan langsung menentukan rumus mana yang dipakai.

🌍 Penggunaan Konsep Ini

Kombinasi dipakai untuk menghitung banyaknya susunan tim, pilihan menu, atau kemungkinan nomor undian. Permutasi dipakai untuk menghitung susunan jadwal, urutan penampilan, atau banyaknya kata sandi yang urutan hurufnya menentukan.

⚡ Rumus dan Prinsip

Permutasi: P(n, r) = n!(n − r)!
Kombinasi: C(n, r) = n!r!(n − r)!
Urutan menentukan → permutasi
Urutan tidak menentukan → kombinasi

Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.

🧩 Contoh Masalah

Dari 8 siswa akan dipilih 3 orang. Berapa banyak cara bila ketiganya menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara? Berapa banyak cara bila ketiganya hanya menjadi anggota tim biasa?

DIKETAHUI
Tersedia 8 siswa dan dipilih 3 orang, dengan dua keadaan berbeda
DITANYAKAN
Banyak cara pada masing-masing keadaan

✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah

  1. Untuk jabatan berbeda, urutan menentukan sehingga dipakai permutasi
  2. P(8, 3) = 8!/(8 − 3)! = 8 × 7 × 6 = 336 cara
  3. Untuk anggota tim biasa, urutan tidak menentukan sehingga dipakai kombinasi
  4. C(8, 3) = 336 ÷ (3 × 2 × 1) = 336 ÷ 6 = 56 cara
Kesimpulan: Ada 336 cara bila jabatannya berbeda, dan 56 cara bila ketiganya anggota biasa.

🔍 Strategi Berpikir

Hasil kombinasi tepat enam kali lebih kecil daripada permutasi, dan angka enam itu adalah 3! yaitu banyaknya cara menyusun tiga orang. Alasannya, susunan seperti Ani-Budi-Cinta dan Budi-Ani-Cinta dihitung berbeda pada permutasi, tetapi merupakan tim yang sama pada kombinasi. Pembagian dengan r! itulah yang membuang penghitungan ganda.

🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan

Berapa banyak susunan huruf berbeda dari kata BUKU? Ada 4 huruf, tetapi huruf U muncul dua kali. Bila semua dianggap berbeda, ada 4! = 24 susunan. Namun menukar dua huruf U tidak menghasilkan susunan baru, sehingga dibagi 2!: 24 ÷ 2 = 12 susunan.

Hasil 12 bisa diperiksa tanpa rumus. Tentukan dulu tempat huruf B, ada 4 pilihan. Huruf K menempati salah satu dari 3 posisi tersisa. Dua posisi terakhir otomatis diisi U. Jadi 4 × 3 = 12, sama dengan hasil rumus. Kesalahan yang khas pada soal macam ini adalah lupa membagi huruf yang sama, sehingga jawabannya 24. Setiap kali ada unsur yang kembar, hitungan dengan faktorial biasa pasti terlalu besar.

⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul

  • Memakai permutasi untuk pemilihan yang urutannya tidak menentukan, sehingga hasilnya terlalu besar.
  • Menghitung faktorial secara penuh padahal sebagian besar sukunya saling menghapus.
  • Tidak membaca soal dengan teliti sehingga gagal mengenali apakah urutan menentukan.

🎯 Latihan Mandiri

Dari 10 orang akan dipilih 2 orang sebagai perwakilan tanpa membedakan peran. Berapa banyak caranya?

Lihat pembahasan setelah mencoba
Karena urutan tidak menentukan, pakai kombinasi: C(10, 2) = (10 × 9)/(2 × 1) = 45 cara.

✅ Refleksi

Untuk tiap keadaan berikut, tentukan permutasi atau kombinasi. Keadaannya: memilih 5 kartu dari satu set kartu, menyusun 5 buku di rak, dan memilih 3 rasa es krim dari 10 pilihan. Jelaskan alasanmu untuk tiap keadaan.

📚 Catatan pembelajaran: materi disusun sebagai kerangka umum Matematika SMA dan dapat diselaraskan dengan CP, TP, ATP, asesmen, serta kebijakan Kurikulum Merdeka di sekolah.