Peluang Distribusi Binomial
Menghitung peluang distribusi binomial sederhana
💡 Konsep Inti
Distribusi binomial menghitung peluang munculnya sejumlah keberhasilan dalam beberapa percobaan berulang. Ada empat syarat yang harus dipenuhi. Banyak percobaan tertentu. Setiap percobaan hanya punya dua hasil, yaitu berhasil atau gagal. Peluang berhasil tetap di setiap percobaan. Antar-percobaan saling bebas. Bila salah satu syarat tidak terpenuhi, rumus binomial tidak boleh dipakai. Rumusnya menggabungkan kombinasi untuk menghitung banyaknya susunan dengan peluang tiap susunan.
🌍 Penggunaan Konsep Ini
Distribusi binomial dipakai untuk memperkirakan banyak produk cacat dalam satu batch produksi. Distribusi ini juga memperkirakan jumlah pasien yang sembuh dari sekelompok pasien, atau peserta yang lolos dari sejumlah pendaftar.
⚡ Rumus dan Prinsip
Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.
🧩 Contoh Masalah
Sebuah koin seimbang dilempar 3 kali. Tentukan peluang muncul tepat 2 gambar, dan tentukan nilai harapan banyaknya gambar.
n = 3, k = 2, dan p = 12
Peluang tepat 2 gambar dan nilai harapannya
✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah
- Hitung banyaknya susunan: C(3, 2) = 3, yaitu GGA, GAG, dan AGG
- Peluang tiap susunan: (12)² × (12)¹ = 18
- Maka P(X = 2) = 3 × 18 = 38
- Nilai harapan: E(X) = n · p = 3 × 12 = 1,5 gambar
🔍 Strategi Berpikir
Nilai harapan 1,5 gambar jelas tidak mungkin terjadi pada satu percobaan, sebab jumlah gambar pasti bilangan bulat. Nilai harapan bukan ramalan hasil satu percobaan, melainkan rata-rata bila percobaan itu diulang sangat banyak kali. Menyalahartikan hal ini adalah kekeliruan yang paling umum tentang nilai harapan.
🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan
Sebuah dadu dilempar 3 kali. Peluang muncul angka 6 tepat satu kali adalah C(3, 1) × (16)¹ × (56)² = 3 × 25216 = 75216 = 2572 ≈ 0,35. Nilai harapan banyaknya angka 6 adalah n × p = 3 × 16 = 0,5.
Cek lengkap dengan menjumlahkan semua kemungkinan. Peluang 0 kali 6 adalah (56)³ = 125/216. Satu kali 75/216. Dua kali C(3, 2) × (136) × (56) = 15/216. Tiga kali 1/216. Jumlahnya (125 + 75 + 15 + 1)/216 = 216216 = 1. Bila jumlah seluruh peluang tidak sama dengan 1, ada yang salah di salah satu suku. Nilai harapan 0,5 juga masuk akal: dalam banyak percobaan, tiga lemparan rata-rata menghasilkan setengah kali angka 6.
⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul
- Lupa mengalikan dengan kombinasi, sehingga hanya menghitung peluang satu susunan.
- Memakai rumus binomial pada percobaan yang tidak saling bebas, misalnya pengambilan tanpa pengembalian.
- Menafsirkan nilai harapan sebagai hasil yang pasti terjadi.
🎯 Latihan Mandiri
Sebuah koin dilempar 4 kali. Berapa peluang muncul gambar pada keempat lemparan?
Lihat pembahasan setelah mencoba
✅ Refleksi
Sebuah pabrik memiliki tingkat produk cacat 5%. Dari 10 produk yang diperiksa, berapa nilai harapan banyak produk cacat? Apakah artinya pasti ada produk cacat sebanyak itu?