Persamaan Kuadrat

Menentukan akar persamaan

💡 Konsep intinya

Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk ax² + bx + c = 0, dengan a tidak sama dengan nol. Nilai x yang membuat persamaan itu benar disebut akar atau penyelesaian. Persamaan linear biasanya punya satu penyelesaian. Persamaan kuadrat bisa punya dua akar berbeda, satu akar kembar, atau tidak punya akar real sama sekali. Kita bisa tahu banyak akarnya lebih dulu dari diskriminan, yaitu b² − 4ac.

🌍 Di mana konsep ini dipakai

Persamaan kuadrat menggambarkan lintasan benda yang dilempar dan hubungan luas dengan ukuran sisi. Ia juga dipakai untuk menghitung laba terbesar dari harga jual, serta bentuk lengkung jembatan dan antena parabola.

⚡ Rumus praktis

Bentuk umum: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

Diskriminan: D = b² − 4ac

D > 0 → dua akar berbeda

D = 0 → satu akar kembar, D < 0 → tidak ada akar real

Rumus adalah alat bantu. Pahami arti simbol dan kapan rumus dipakai sebelum memasukkan angka.

🧩 Contoh masalah

Tentukan banyak akar dari persamaan x² − 5x + 6 = 0 memakai diskriminan, lalu periksa apakah x = 2 salah satu akarnya.

DIKETAHUI
Persamaan x² − 5x + 6 = 0 dengan a = 1, b = −5, dan c = 6

DITANYAKAN
Banyak akar berdasarkan diskriminan dan pemeriksaan x = 2

✏️ Penyelesaian langkah demi langkah

Hitung diskriminan: D = b² − 4ac = (−5)² − 4(1)(6)
D = 25 − 24 = 1
Karena D positif, persamaan ini punya dua akar real yang berbeda
Periksa x = 2: (2)² − 5(2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0. Jadi x = 2 memang salah satu akarnya

Kesimpulan: Persamaan itu punya dua akar real berbeda, dan x = 2 terbukti salah satu akarnya.

🔍 Kenapa cara ini bekerja?

Menghitung diskriminan lebih dulu menghemat waktu. Kalau D negatif, kamu tidak perlu mencari akar karena memang tidak ada akar real. Kalau D nol, cukup cari satu akar. Semua informasi itu datang dari satu hitungan singkat.

🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan

Tentukan banyak akar 3x² − 2x − 1 = 0. Di sini a = 3, b = −2, dan c = −1. Maka D = (−2)² − 4(3)(−1) = 4 + 12 = 16. Karena D positif, ada dua akar real berbeda. Akarnya bisa dicari dengan x = (2 ± 4)/6, yaitu x = 1 atau x = −1/3. Periksa x = 1: 3 − 2 − 1 = 0, benar.

Persamaan tidak selalu tertulis dalam bentuk ax² + bx + c = 0. Lihat x² = 4x + 5. Pindahkan semua suku ke satu ruas dulu: x² − 4x − 5 = 0. Barulah a = 1, b = −4, dan c = −5, sehingga D = 16 + 20 = 36. Kalau a, b, dan c dibaca dari bentuk awal, tandanya salah dan diskriminannya ikut keliru.

⚠️ Kesalahan yang paling sering terjadi

Salah tanda saat mengkuadratkan b yang negatif. Misalnya menulis (−5)² sebagai −25.
Lupa mengalikan 4 pada rumus diskriminan, sehingga menulis b² − ac.
Mengira soal salah karena tidak ada akar real. Padahal itu jawaban yang sah.

🎯 Sekarang giliranmu

Tentukan diskriminan dan banyak akar dari x² + 4x + 4 = 0.

Lihat jawaban setelah mencoba

D = 4² − 4(1)(4) = 16 − 16 = 0. Karena D = 0, persamaan itu punya satu akar kembar, yaitu x = −2.

✅ Cek pemahaman

Buat sendiri sebuah persamaan kuadrat yang tidak punya akar real, lalu buktikan dengan diskriminan. Petunjuk: buat nilai c cukup besar dibanding b.

📚 Rujukan penyusunan: OpenStax Prealgebra 2e, OpenStax Elementary Algebra 2e, dan muatan Matematika SMP Kemendikdasmen.