Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Menentukan solusi SPLTV menggunakan berbagai metode
💡 Konsep Inti
Sistem persamaan linear tiga variabel terdiri atas tiga persamaan yang harus dipenuhi bersama oleh satu pasangan nilai (x, y, z). Strateginya bertahap: pakai eliminasi untuk mengurangi tiga variabel menjadi dua, selesaikan sistem dua variabel yang terbentuk, lalu substitusikan kembali untuk memperoleh variabel ketiga. Kuncinya adalah memilih variabel yang paling mudah dihilangkan lebih dulu, biasanya yang koefisiennya sudah sama atau berlawanan di dua persamaan.
🌍 Penggunaan Konsep Ini
SPLTV dipakai saat ada tiga hal yang belum diketahui dan tersedia tiga informasi. Contohnya menentukan harga tiga jenis barang dari tiga nota belanja, membagi anggaran ke tiga pos dengan tiga syarat, atau mencari komposisi tiga bahan campuran.
⚡ Rumus dan Prinsip
Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.
🧩 Contoh Masalah
Tentukan x, y, dan z dari sistem x + y + z = 6, x + y − z = 0, dan x − y + z = 2.
Tiga persamaan seperti tertulis pada soal
Nilai x, y, dan z
✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah
- Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: (x + y + z) − (x + y − z) = 6 − 0, sehingga 2z = 6 dan z = 3
- Substitusikan z = 3 ke persamaan kedua: x + y − 3 = 0, sehingga x + y = 3
- Substitusikan z = 3 ke persamaan ketiga: x − y + 3 = 2, sehingga x − y = −1
- Jumlahkan dua hasil terakhir: 2x = 2 sehingga x = 1, dan y = 3 − 1 = 2
🔍 Strategi Berpikir
Persamaan pertama dan kedua sengaja dipilih untuk dikurangkan karena bagian x + y-nya sama persis, sehingga langsung hilang dan hanya menyisakan z. Mencari pasangan persamaan yang paling mudah dieliminasi di langkah pertama menentukan panjang pendeknya seluruh pengerjaan.
🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan
Sistem yang tidak selalu berpasangan rapi juga bisa ditangani. Misalkan x + y + z = 12, 2x + y − z = 5, dan x − y + 2z = 9. Jumlahkan persamaan pertama dan kedua agar z hilang: 3x + 2y = 17. Jumlahkan persamaan kedua dan ketiga agar y hilang: 3x + z = 14. Jumlahkan persamaan pertama dan ketiga agar y hilang juga: 2x + 3z = 21.
Dari 3x + z = 14 diperoleh z = 14 − 3x. Masukkan ke 2x + 3z = 21 sehingga 2x + 42 − 9x = 21, yaitu −7x = −21 dan x = 3. Maka z = 14 − 9 = 5, dan dari 3x + 2y = 17 diperoleh 9 + 2y = 17 sehingga y = 4.
Periksa pada ketiga persamaan sekaligus, bukan hanya satu. Persamaan pertama: 3 + 4 + 5 = 12. Kedua: 6 + 4 − 5 = 5. Ketiga: 3 − 4 + 10 = 9. Ketiganya benar. Satu persamaan yang gagal sudah cukup untuk menandakan kesalahan hitung di langkah eliminasi.
⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul
- Mengurangkan hanya ruas kiri tanpa mengurangkan ruas kanan.
- Berhenti setelah menemukan dua variabel dan lupa mencari yang ketiga.
- Tidak memeriksa jawaban pada ketiga persamaan, padahal kesalahan tanda sering baru ketahuan di sana.
🎯 Latihan Mandiri
Tentukan penyelesaian dari x + y + z = 9, x + y − z = 3, dan x − y + z = 5.
Lihat pembahasan setelah mencoba
✅ Refleksi
Susun sendiri sebuah soal cerita yang memerlukan tiga variabel, misalnya tentang harga tiga jenis makanan dari tiga struk belanja. Pastikan datanya konsisten sehingga penyelesaiannya ada.