Fungsi Logaritma
Menggambar grafik dan menyelesaikan persamaan logaritma
💡 Konsep Inti
Fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen. Bila fungsi eksponen menjawab 'berapa hasilnya', fungsi logaritma menjawab 'berapa pangkatnya'. Karena aˣ selalu bernilai positif, maka domain fungsi logaritma hanyalah bilangan positif. Grafiknya melalui titik (1, 0) dan naik terus tetapi semakin melandai, kebalikan dari grafik eksponen yang semakin curam. Sifat inversi ini yang membuat logaritma sangat berguna: ia mengubah masalah perkalian menjadi penjumlahan.
🌍 Penggunaan Konsep Ini
Logaritma dipakai untuk menghitung lama tabungan mencapai jumlah tertentu dan menentukan umur fosil dari peluruhan karbon. Logaritma juga mengukur besaran berskala lebar, seperti kekuatan gempa dan tingkat kebisingan.
⚡ Rumus dan Prinsip
Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.
🧩 Contoh Masalah
Selesaikan ²log (x − 1) = 3, lalu tentukan setelah berapa tahun modal berbunga 10% per tahun menjadi dua kali lipat, dengan log 2 = 0,301 dan log 1,1 = 0,0414.
Persamaan logaritma dan kasus penggandaan modal
Nilai x dan lama waktu penggandaan modal
✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah
- Ubah bentuk logaritma menjadi eksponen: x − 1 = 2³ = 8, sehingga x = 9
- Periksa domain: x − 1 = 8 yang bernilai positif, sehingga jawabannya sah
- Untuk kasus kedua, susun (1,1)ᵗ = 2 lalu logaritmakan kedua ruas: t · log 1,1 = log 2
- t = 0,301 ÷ 0,0414 ≈ 7,3 tahun
🔍 Strategi Berpikir
Memeriksa domain pada persamaan logaritma wajib dilakukan, bukan sekadar formalitas. Persamaan seperti ²log (x − 5) = 1 memberi x = 7 yang sah. Namun ada bentuk lain yang secara aljabar menghasilkan nilai yang membuat isi logaritma negatif. Nilai semacam itu harus dibuang meskipun muncul dari perhitungan yang benar.
🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan
Selesaikan ²log x + ²log (x − 2) = 3. Gabungkan kedua logaritma di ruas kiri menjadi perkalian: ²log [x(x − 2)] = 3. Ubah ke bentuk pangkat: x(x − 2) = 2³ = 8, sehingga x² − 2x − 8 = 0. Faktorkan menjadi (x − 4)(x + 2) = 0 dan diperoleh x = 4 atau x = −2.
Sebelum puas, periksa domain. Logaritma mensyaratkan x > 0 dan x − 2 > 0, jadi x harus lebih besar dari 2. Nilai x = −2 melanggar syarat itu, sehingga dibuang. Tersisa x = 4. Substitusi menutup pemeriksaan: ²log 4 + ²log 2 = 2 + 1 = 3. Perhatikan bahwa x = −2 muncul justru karena kita menggabungkan logaritma, suatu langkah yang secara aljabar memperluas himpunan nilai yang diizinkan.
⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul
- Tidak memeriksa syarat bahwa isi logaritma harus positif.
- Mengira ᵃlog (x + y) sama dengan ᵃlog x + ᵃlog y.
- Tertukar antara basis logaritma dan bilangan yang dilogaritmakan.
🎯 Latihan Mandiri
Selesaikan ³log (x + 2) = 2.
Lihat pembahasan setelah mencoba
✅ Refleksi
Jelaskan mengapa persamaan ²log x = −3 tetap punya penyelesaian, padahal domain logaritma hanya bilangan positif. Perhatikan bahwa yang harus positif adalah x, bukan hasil logaritmanya.