Barisan dan Deret
Menentukan suku ke-n dan jumlah deret
💡 Konsep Inti
Barisan adalah urutan bilangan yang mengikuti pola tertentu, sedangkan deret adalah penjumlahan suku-suku barisan itu. Ada dua jenis utama. Barisan aritmetika punya selisih tetap antar-suku yang disebut beda, sehingga pertumbuhannya linear. Barisan geometri punya perbandingan tetap antar-suku yang disebut rasio, sehingga pertumbuhannya eksponensial. Langkah pertama menghadapi soal barisan selalu sama: periksa apakah selisihnya tetap atau justru perbandingannya yang tetap.
🌍 Penggunaan Konsep Ini
Barisan aritmetika muncul pada cicilan tetap, penyusutan garis lurus, dan gaji yang naik tetap tiap tahun. Barisan geometri muncul pada bunga majemuk, pertumbuhan penduduk, dan penyusutan nilai barang yang berkurang beberapa persen tiap tahun.
⚡ Rumus dan Prinsip
Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.
🧩 Contoh Masalah
Diketahui barisan 3, 7, 11, 15, dan seterusnya. Tentukan suku ke-20 dan jumlah 20 suku pertamanya.
Suku pertama a = 3 dengan pola yang perlu dikenali
Suku ke-20 dan jumlah 20 suku pertama
✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah
- Periksa selisihnya: 7 − 3 = 4, 11 − 7 = 4, dan 15 − 11 = 4, sehingga barisannya aritmetika dengan b = 4
- Suku ke-20: U₂₀ = 3 + (20 − 1) × 4 = 3 + 76 = 79
- Jumlah 20 suku: S₂₀ = 202 × (2 × 3 + 19 × 4) = 10 × (6 + 76)
- S₂₀ = 10 × 82 = 820
🔍 Strategi Berpikir
Rumus jumlah deret aritmetika sebenarnya berasal dari cara cerdas: jumlahkan barisan dari depan dan dari belakang secara berpasangan. Suku pertama ditambah suku terakhir menghasilkan 3 + 79 = 82, dan setiap pasangan lain juga menghasilkan 82. Karena ada 10 pasangan, jumlahnya 820. Itulah asal bentuk n/2 pada rumusnya.
🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan
Pada barisan aritmetika diketahui U₂ = 10 dan U₇ = 25. Dari dua suku ini, beda dicari lewat selisih: U₇ − U₂ = 5b = 15, sehingga b = 3. Suku pertama a = U₂ − b = 10 − 3 = 7. Suku ke-10 adalah 7 + 9 × 3 = 34, dan jumlah 10 suku pertamanya S₁₀ = 102 × (7 + 34) = 5 × 41 = 205.
Cek dengan menuliskan barisannya: 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34. Suku kedua memang 10 dan suku ketujuh memang 25. Jumlahnya bisa diperiksa dengan memasangkan suku ujung: 7 + 34, 10 + 31, 13 + 28, 16 + 25, dan 19 + 22. Setiap pasangan bernilai 41 dan ada lima pasang, sehingga 5 × 41 = 205. Pasangan yang berjumlah sama inilah alasan rumus jumlah deret aritmetika bekerja.
⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul
- Memakai n bukan (n − 1) pada rumus suku ke-n, sehingga hasilnya bergeser satu suku.
- Menerapkan rumus aritmetika pada barisan yang ternyata geometri tanpa memeriksa polanya.
- Tertukar antara mencari suku ke-n dan mencari jumlah n suku pertama.
🎯 Latihan Mandiri
Sebuah barisan geometri dimulai dari 2 dengan rasio 3. Tentukan suku ke-5 dan jumlah 5 suku pertamanya.
Lihat pembahasan setelah mencoba
✅ Refleksi
Sebuah tabungan menyetor Rp100.000 tiap bulan tanpa bunga, dibandingkan dengan modal awal Rp100.000 yang tumbuh 10% tiap bulan. Setelah 12 bulan, mana yang lebih besar? Hitung keduanya.