Lingkaran

Memahami persamaan lingkaran dan penerapannya

💡 Konsep Inti

Lingkaran dalam geometri analitik didefinisikan sebagai himpunan titik yang berjarak sama dari suatu titik pusat. Definisi itu langsung menghasilkan persamaannya lewat rumus jarak. Lingkaran berpusat di titik asal dengan jari-jari r memiliki persamaan x² + y² = r². Bila pusatnya di (a, b), persamaannya (x − a)² + (y − b)² = r². Persamaan juga sering disajikan dalam bentuk umum, dan untuk menemukan pusat serta jari-jarinya harus diubah kembali dengan melengkapkan kuadrat.

🌍 Penggunaan Konsep Ini

Persamaan lingkaran dipakai untuk menggambarkan jangkauan sinyal menara pemancar, wilayah yang terdampak suatu kejadian, dan lintasan benda berputar. Sistem navigasi juga menentukan posisi dari perpotongan beberapa lingkaran jangkauan.

⚡ Rumus dan Prinsip

Pusat O: x² + y² = r²

Pusat (a, b): (x − a)² + (y − b)² = r²

Bentuk umum: x² + y² + Ax + By + C = 0

Pusat bentuk umum: (−A2, −B2)

Perhatikan syarat penggunaan rumus, arti setiap variabel, dan domain nilai yang diperbolehkan.

🧩 Contoh Masalah

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0, lalu periksa apakah titik (7, −2) terletak pada lingkaran itu.

DIKETAHUI
Persamaan bentuk umum dengan A = −6, B = 4, dan C = −12

DITANYAKAN
Pusat, jari-jari, dan kedudukan titik (7, −2)

✏️ Penyelesaian Langkah demi Langkah

Kelompokkan dan lengkapi kuadrat: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12
Tambahkan 9 dan 4 pada kedua ruas: (x − 3)² + (y + 2)² = 12 + 9 + 4 = 25
Maka pusatnya (3, −2) dan jari-jarinya √25 = 5
Periksa titik (7, −2): (7 − 3)² + (−2 + 2)² = 16 + 0 = 16, tidak sama dengan 25

Kesimpulan: Pusatnya (3, −2) dengan jari-jari 5, dan titik (7, −2) tidak terletak pada lingkaran karena berada di dalamnya.

🔍 Strategi Berpikir

Nilai 16 lebih kecil daripada 25 menunjukkan titik itu berada di dalam lingkaran, sebab jaraknya ke pusat hanya 4 sedangkan jari-jarinya 5. Bila hasilnya lebih besar dari 25, titiknya berada di luar. Pemeriksaan kedudukan titik seperti ini cukup dengan substitusi, tanpa perlu menggambar.

🧩 Contoh kedua dan pembahasan lanjutan

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² + 8x − 6y + 9 = 0. Pusatnya (−A/2, −B/2) = (−4, 3). Kuadrat jari-jari r² = (−4)² + 3² − 9 = 16 + 9 − 9 = 16, sehingga r = 4. Lalu titik (0, 3): 0 + 9 + 0 − 18 + 9 = 0, jadi titik itu terletak pada lingkaran.

Cara lain untuk memeriksa adalah memakai jarak. Titik (0, 3) berjarak 4 dari pusat (−4, 3), persis sama dengan jari-jari. Untuk titik (1, 1), substitusi ke persamaan memberi 1 + 1 + 8 − 6 + 9 = 13, yaitu positif. Jaraknya ke pusat √(25 + 4) = √29, lebih dari 4. Jadi bila hasil substitusi positif, titik berada di luar lingkaran. Bila negatif, titik berada di dalam. Hasil nol berarti tepat di keliling.

⚠️ Kekeliruan yang Sering Muncul

Menambahkan hasil pelengkap kuadrat hanya pada satu ruas.
Salah tanda saat membaca pusat dari bentuk (x − a)² + (y − b)², misalnya membaca (x + 2)² sebagai a = 2.
Lupa menarik akar sehingga menyebut jari-jarinya 25, bukan 5.

🎯 Latihan Mandiri

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran (x + 1)² + (y − 4)² = 36.

Lihat pembahasan setelah mencoba

Bentuk (x + 1)² sama dengan (x − (−1))², sehingga pusatnya (−1, 4). Jari-jarinya √36 = 6.

✅ Refleksi

Sebuah menara pemancar berada di titik (2, 3) dengan jangkauan 10 km. Tuliskan persamaan batas jangkauannya, lalu periksa apakah desa di titik (8, 11) masih terjangkau.

📚 Catatan pembelajaran: materi disusun sebagai kerangka umum Matematika SMA dan dapat diselaraskan dengan CP, TP, ATP, asesmen, serta kebijakan Kurikulum Merdeka di sekolah.